Dérivées de la fonction carré et de la fonction cube

Propriété

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x^2\) pour tout réel \(x\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}(x)=2x\) pour tout réel \(x\).

La démonstration de cette propriété a été déjà traitée.

Propriété

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x^3\) pour tout réel \(x\).
\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f^{\prime}(x)=3x^2\) pour tout réel \(x\).

Démonstration

Soit `f` la fonction définie par \(f(x)=x^3\) pour tout réel \(x\).
Soit \(x\) un nombre réel et \(h\) un nombre réel non nul.
Le taux de variation de \(f\) entre \(x\) et \(x+h\) est :
\(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^3-x^3}{h}=\dfrac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}=\dfrac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}=\dfrac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}=3x^2+3xh+h^2\)
Ainsi, lorsque \(h\) tend vers \(0\), ce taux de variation tend vers \(3x^2\).
La fonction \(f\) est donc dérivable sur `\mathbb(R)` et sa fonction dérivée est la fonction définie sur `\mathbb(R)` par \(f'(x)=3x^2\).